13/7/2012

Demostraciones del teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

El teorema lleva este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros. Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación. La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.
El Teorema de Pitágoras es de los que cuenta con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de Magíster matheseos. Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 The Pythagorean Proposition.

Veamos cuatro demostraciones diferentes del teorema de Pitágoras: 


Demostración 1

El cuadrado MNPQ tiene de lado b+c y, en consecuencia, su área será (b+c)^2= b^2+c^2+2bc

Por otro lado, este cuadrado está formado por cuatro triángulos rectángulos iguales de área total 4.b.c/2 = 2.b.c y otro cuadrado más pequeño de área a^2.

Así, pues:  b^2+c^2+2bc = a^2 +2bc. Simplificando:  b^2+c^2 = a^2, tal como queríamos demostrar.



Demostración 2

El cuadrado ABCD está formado por cuatro triángulos rectángulos iguales y otro cuadrado más pequeño de lado la hipotenusa de uno de los triángulos rectángulos. El cuadrado MNPQ está formado también por cuatro triángulos rectángulos iguales a los anteriores y dos cuadrados más pequeños cuyos lados coinciden con los catetos de los triángulos rectángulos mencionados.
Además, los cuadrados ABCD y MNPQ son iguales y, en consecuencia , tienen la misma superficie. Si de dichos cuadrados eliminamos los cuatro triángulos rectángulos, nos quedará en ABCD un cuadrado de área a^2 y en MNPQ dos cuadrados de áreas b^2 y c^2, con idéntica superficie. Por tanto: a^2 = b^2 + c^2.



Demostración 3

Los tres triángulos son rectángulos y semejantes entre sí. En ellos podemos hallar el coseno de sus ángulos agudos:

cos B = m/c = c/a y, por tanto, c^2 = m.a (1).

cos C = n/b = b/a y, por tanto, b^2 = n.a (2).

Sumando miembro a miembro (1) y (2), resulta: b^2 + c^2 = m.a + n.a = (m+n).a = a.a = a^2.



Demostración 4

mcnamee:

Thought I might make a gif proof of the Pythagorean theorem why not.